向量叉乘的几何意义怎么推导的（向量法判断点与线段的关系）

如上图所示，有一点P和线段AB，已知点P的坐标和线段两个端点（A点和B点）的坐标。

利用向量点乘的几何意义，可以比较简单求解以下几个问题：

• 求线段AP在线段AB上的投影长度；
• 求点P在线段AB上的投影点的坐标；
• 判断点P的投影点是否在线段AB内；
• 求∠PAB的角度值；
• 判断∠PAB是锐角、直角，还是钝角。

与向量点乘类似的，可以用向量的叉乘来求解以下问题：

• 求向量AP和AB组成的平行四边形的面积；
• 若有另外一点Q，判断向量PQ与AB是否平行；
• 判断点P在向量AB的左侧还是右侧。

向量的叉乘，又叫向量积、叉积。

向量a和向量b的叉积是一个向量，而不是一个标量。

向量a和向量b的叉积是一个法向量：

• 该向量垂直于向量a和b构成的平面，遵循右手定则。即将右手食指指向a的方向，中指指向b的方向，则此时拇指的方向即为法向量的方向。这一定则意味着叉积满足反交换律：a x b = - b x a。
• 该向量的模长是向量a和b组成的平行四边形的面积。

根据向量叉乘的几何意义，则可以知道：

1、向量叉乘的结果的模长，即为这两个向量组成的平行四边形的面积；

2、如果叉乘的结果为0，则两个向量方向相同或相反，或它们任意一个的长度为0（而点乘的结果为0，则两个向量互相垂直）；

3、判断点P在向量AB的左侧还是右侧，则可根据向量 ABxAP 的叉乘结果 r 来判断，根据右手定则：

• 若 r > 0，则点P在向量AB的左侧；
• 若 r = 0，则点P在向量AB上；
• 若 r < 0，则点P在向量AB的右侧。